Основные вопросы на доказательства  (1 семестр)  

Алгебра   

1. Доказать, что существует n! различных перестановок порядка n.

2. Доказать, что при смене мест любых двух элементов меняется чётность перестановки.

3. Доказать, что определитель матрицы не изменится, если к строке прибавить другую строку, умноженную на число (с помощью других свойств определителя).

4. Доказать, что сумма произведений всех элементов строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равна 0.

5. Доказать, что существует обратная матрица данная матрица невырожденная.

6. Вывести формулу вычисления элементов обратной матрицы.

7. Доказать, что система ЛЗС  некоторый вектор этой системы является линейной комбинацией остальных векторов.

8. Доказать, что если подсистема ЛЗС то система также ЛЗС.

9. Доказать теорему о базисном миноре: всякий столбец матрицы есть линейная комбинация базисных столбцов.

10. Доказать теорему Кронекера - Капелли о совместности систем линейных уравнений.

11. Доказать формулы Крамера.

12. Доказать, что для однородной системы при n=m существует нетривиальное решение  матрица вырождена.

13. Доказать, что линейная комбинация решений системы однородных уравнений также является решением.

14. Доказать, что существует линейно независимая система из n-r решений однородной системы уравнений.

15. Доказать, что всякое решение однородной системы уравнений является линейной комбинацией (n-r) л-н решений.

16. Доказать, что сумма решений неоднородной системы и соотв. однородной является решением неоднородной системы.

17. Доказать, что пересечение подпространств является подпространством.

18. Доказать, что всякий вектор из Rⁿ можно представить, причём единственным образом, в виде линейной комбинации базисных векторов.

19. Доказать, что если вектор x состоит из координат вектора b в новом базисе, C – матрица перехода, то Cx=b.

20. Доказать неравенство Коши - Буняковского.

21. Доказать, что ортогональная система линейно независима.

22. Доказать, что обратная матрица для ортогональной матрицы совпадает с транспонированной.

23. Доказать, что сумма линейных операторов является линейным оператором.

24. Доказать, что если  - собственное число линейного оператора, то оно есть корень уравнения .

25. Доказать, что лин. комбинация собственных векторов, соответствующих , является собственным вектором, соответствующим .

26. Доказать, что если два вектора соответствуют различным , то они образуют ЛНС.

27. Доказать, что собственный вектор обратимого оператора является собственным и для обратного к нему оператора, и соответствует .

28. Доказать, что если систему из n собственных векторов - базис, то матрица оператора относительно этого базиса будет диагональной.

29. Доказать, что матрица оператора, обладающего свойством (Lx,y)=(x,Ly), симметрична.

30. Доказать, что собственные векторы симметрического оператора, соотв. различным , ортогональны.

31. Доказать, что квадратичная форма положительно-определённая (I⁺=n)  Q(x)>0 для любого ненулевого вектора x.

Геометрия  

32. Вывести формулу расстояния от точки до прямой в плоскости.  

33. Вывести формулу расстояния от точки до плоскости в пространстве.  

34. Вывести формулу расстояния от точки до прямой в пространстве.  

35. Вывести формулу расстояния между скрещивающимися прямыми.

36. Вывести каноническое уравнение эллипса из определения эллипса

37. Вывести каноническое уравнение параболы из определения параболы.

38. Доказать, что однородное уравнение задаёт коническую поверхность.

Матем.анализ    

39. Доказать, что если , и  то .

40. Доказать, что если существует предел функции f в точке x₀, то он единственный.

41. Доказать, что функция, имеющая конечный предел в точке, ограничена в некоторой окрестности точки.

42. Доказать, что предел суммы функций равен сумме пределов.

43. Доказать, что если , и  то .

44. Доказать, что если , , то .

45. Доказать, что если , , то .

46. Доказать 1-й замечательный предел.    

47. Доказать свойства эквивалентности бесконечно-малых.

48. Доказать, что f дифференцируема в точке существует конечная производная в этой точке.

49. Вывести формулу производной  для композиции .

50. Вывести формулу вычисления производной по направлению вектора .

51. Вывести формулу второй производной  для композиции .

52. Вывести формулы , для функции, заданной параметрически.

53. Вывести формулы  ,, , для функции, заданной неявно.

54. Вывести уравнение касательной к кривой.

55. Доказать, что  ортогонален поверхности .

56. Вывести уравнение касательной плоскости к поверхности.

57. Доказать инвариантность формы первого дифференциала и неинвариантность 2-го дифференциала.

58. Вывести формулу 2-го дифференциала  для композиции .

59. Доказать теорему о строении f(x) в полуокрестностях U⁺  и U^- при .

60. Доказать теорему Ферма о производной в точке наибольшего или наименьшего значения.

61. Доказать теорему Ролля.

62. Доказать теорему Лагранжа.

63. Доказать теорему Коши.

64. Доказать теорему Лопиталя.

65. Доказать теорему о взаимосвязи знака производной с возрастанием или убыванием функции.

66. Доказать достаточный признак экстремума на основе первой производной.

67. Доказать, что если  ,  то - точка минимума.

68. Доказать достаточный признак экстремума на основе n-й производной.

69. Доказать свойство взаимосвязи выпуклости графика с ростом или убыванием первой производной.

70. Вывести формулы вычисления k,b для наклонной асимптоты.